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自複習統計學，整理資料如下。

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統計學

[wiki]

敘述統計學 ▶️、 ▶️

連續變數機率分布

集中趨勢	平均數平方算術幾何調和算術-幾何幾何-調和希羅／平均數不等式中位數眾數
離散程度	全距變異係數百分位數四分位距四分位數標準差變異數平均差標準分數柴比雪夫不等式吉尼係數
分布形態	中央極限定理動差偏態峰態

離散變數機率

推論統計學 | 🟦、 ▶️、
和假說檢定 ▶️

推論統計學	信賴區間區間估計顯著性差異元分析貝氏推論
實驗設計	母體抽樣重抽樣刀切法自助法交叉驗證重複區集靈敏度和特異度缺失數據
樣本量	標準誤虛無假說對立假說型一錯誤與型二錯誤檢定力效果量
常規估計	貝氏推論區間估計最大概似估計最小距離估計動差估計最大間距
假說檢定	Z檢定司徒頓t檢定 F檢定卡方檢定 Wald檢定曼-惠特尼檢定秩和檢定
生存分析	生存函數乘積極限估計量對數秩和檢定失效率危險比例模式

相關 ▶️ | 及
迴歸分析 ▶️

相關性	干擾因素皮爾森積動差相關係數等級相關 (斯皮爾曼等級相關係數肯德等級相關係數) 自由度誤差和殘差
線性迴歸	線性模型一般線性模型廣義線性模型簡單線性迴歸普通最小平方法貝葉斯迴歸變異數分析共變異數分析
非線性迴歸	無母數迴歸模型半參數迴歸模型邏輯斯諦迴歸

統計圖形 ▶️

其他

常見機率分布

▶️ | 下表列出了一些常用機率分布的變異數。

機率分布類型	機率分布函數	均值	變異數
二項式分布 \| ▶️	$\Pr \,(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
幾何分布 \| ▶️	$\Pr \,(X=k)=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {(1-p)}{p^{2}}}$
常態分布 \| ▶️ \| 🟦 68-95-99.7	$f\left(x\mid \mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$	$\mu$	$\sigma ^{2}$
司徒頓t分布 \| ▶️ \| 🟦			${S_{n}}^{2}$
連續型均勻分布 \| ▶️	$f(x\mid a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[3pt]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b\end{cases}}$	${\frac {a+b}{2}}$	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$
指數分布 \| ▶️	$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$	${\frac {1}{\lambda }}$	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
卜瓦松分布 \| ▶️	$f(k\mid \lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$	$\lambda$	$\lambda$

*注意：此表格中的數學公式是使用維基媒體的圖片連結 (SVG) 呈現，以盡可能重現原始網頁的樣子。如果這些圖片連結失效，公式將無法顯示。*

數學相關主題 [編輯]

基本資料	數學基礎	組合	拓撲學
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代數	分析	幾何	數論
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▼1 Notes

Notes

1.The purpose of various statistical tests

The purpose of various statistical tests is to validate hypotheses, quantify uncertainty, and draw meaningful conclusions from data.
These tests help determine whether observed patterns in data reflect true relationships or are due to chance.
They provide mathematical rigor, enable reliable inferences, guide predictive model development, facilitate comparisons over time, support objective decision-making, and enhance reproducibility in research.
There are numerous statistical testing methods, each suited for different types of data and research questions. Below is a table summarizing some common statistical tests along with their definitions: Statistical Test Definition.

2.Derivatives in Calculus chart

What are Derivatives in Calculus?
A derivative in calculus is the instantaneous rate of change of a function with respect to another variable.
Differentiation is the process of finding the derivative of a function.
The derivative of a function is same as the slope of the tangent, rate of change, etc.

3.。

▼2 各種分配Distribution簡介

各種分配Distribution簡介

📊 指數分配 Exponential distribution: 是一種常見的連續機率分配，常用來描述隨機事件之間的等待時間，例如下一次事故、下一通電話、下一台車到來之前的等待時間。(Λ大寫，λ小寫/'læmdə/)🔧 直觀意義:指數分配常用於描述：下一次事件發生需要等待多久(且事件發生是隨機且互不影響的)
📊 卡方分配 Chi-square distribution: 是統計學中非常重要的一種連續機率分配，主要用來做變異數分析、適合度檢定、獨立性檢定（例如卡方檢定），也是許多統計方法的核心。🔧 直觀理解:卡方分配用來描述「許多小隨機波動累積後的變化量」，尤其適合用來衡量資料與理論期望之間的差距。
📊 伽瑪分配 Gamma distribution: 是指數分配與卡方分配的推廣，在工程、壽命分析、保險數理與排隊理論中都有應用。是一種常用在統計學與機率論中的連續機率分配，常用來描述等待時間或累積事件的時間。🔧直觀說明: 可以把伽瑪分配看作是：要等到第k次隨機事件發生所需的等待時間，且每次事件的間隔時間都服從指數分配。
📊 幾何分配 Geometric Distribution: 是一種離散機率分配，用來描述：在重複且獨立的伯努利試驗中，直到第一次成功所需的試驗次數分布(須符合：每次試驗只有成功Success或失敗Failure兩種結果;每次成功的機率相同=p;每次試驗獨立)。🔧 直觀解釋: P(X=k)=前 k−1 次都失敗，直到第 k 次成功。 (幾何分配是唯一具有無記憶性的離散分配)
📊 伯努利分配 Bernoulli distribution: 是機率論中最基本的離散機率分配之一，用來描述只有兩種可能結果的隨機試驗，例如成功/失敗、是/否、正面/反面。定義: 伯努利試驗只有兩個結果：成功Success記為1機率為p，失敗Failure記為0機率為1−p，若隨機變數X表示一次試驗的結果，則：P(X=1)=p,P(X=0)=1−p; 平均與變異數E[X]=p, Var(X)=p(1−p)
📊 負二項分配 Negative Binomial Distribution: 是一種離散機率分配，常用來描述：✅在一連串獨立的伯努利試驗中，需要做多少次試驗才能得到第r次成功。它是幾何分配的推廣，幾何分配是在等待第一次成功r=1，而負二項分配則是等待第r次成功。
📊 泊松分配 Poisson distribution: 是一種常見的離散機率分配，用來描述在固定時間或空間內，隨機事件發生的次數。這些事件必須是獨立且隨機發生的，例如事故發生次數、顧客到店數、電話來電數等。✅定義:若一個事件平均在單位時間或區域內發生λ次，則事件發生的次數X服從泊松分配; ✅ 生活化例子📞 例子：客服電話某客服中心每分鐘平均接到3通電話。X∼Poisson(3) 表示在任意1分鐘內，(可算出)可能接到：剛好0通的機率,或剛好 2通的機率。

🎯 幾何分配和其他分配的，關係:說明
伯努利分配: 幾何分配是重複伯努利試驗直到成功
負二項分配:幾何分配是負二項分配中r=1的特例
指數分配: 幾何分配是指數分配的離散版本（等待到事件發生）
✅ 在重複且獨立的伯努利試驗中，直到第一次成功所需的試驗次數分布。

📚 指數分配與其他分配的，關係:說明
伽瑪分配的特例: 當形狀參數 k=1 時，Gamma 分配就是指數分配
泊松過程: 事件之間的等待時間服從指數分配
可靠度工程: 常用來表示無老化元件constant failure rate的壽命

✅ 伯努利分配和其他分配的，關係:說明
二項分配: 伯努利分配是 n=1 的二項分配幾何分配: 幾何分配是重複伯努利試驗直到第一次成功負二項分配: 多次伯努利試驗中等待第r次成功

🔗 負二項分配和其他分配的，關係:說明
伯努利分配: 最基本的成功/失敗模型幾何分配: 負二項分配中特例 r=1 二項分配: 固定次數找成功數；負二項分配是固定成功數找次數泊松分配: 可近似某些負二項（當r 大、p 小時）

🔧 重點理解比較，類型:問題型態?例子
幾何分配: 第一次成功要多久？第一次進球負二項分配: 第r次成功要多久？第三次進球二項分配: 固定做n次，成功幾次？丟10次硬幣出現幾次正面

🔗 泊松分配和其他，分配:說明
二項分配: 當 n 大、p 小時，二項分配近似泊: X∼Bin(n,p)≈Poisson(np) 指數分配: 泊松過程中，「事件間隔時間」服從指數分配負二項分配: 泊松分配的延伸，可處理過度離散

看ChatGPT 說明。

▼9 Others

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